11161. Пусть радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC
, AC
и AB
треугольника со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, равны x
, y
и z
соответственно, а \alpha
, \beta
и \gamma
— углы треугольника при вершинах A
, B
и C
соответственно. Докажите, что:
а) \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{\sqrt{xy+xz+yz}}
, \tg\frac{\beta}{2}=\frac{y}{\sqrt{xy+xz+yz}}
, \tg\frac{\gamma}{2}=\frac{z}{\sqrt{xy+xz+yz}}
;
б) \sin\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}
, \sin\frac{\beta}{2}=\frac{y}{\sqrt{(y+x)(y+z)}}
, \sin\frac{\gamma}{2}=\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}
.
Решение. а) Пусть p
— полупериметр треугольника ABC
со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, r
— радиус вписанной окружности, S
— площадь. По формулам \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{p-a}
(см. задачу 324в), p-a=\frac{S}{x}
(см. задачу 392), r=\frac{xyz}{xy+xz+yz}
(см. задачу 11160б) и S=\frac{xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}}
(см. задачу 11160а) получаем, что
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{p-a}=\frac{\frac{xyz}{xy+xz+yz}}{\frac{S}{x}}=\frac{\frac{xyz}{xy+xz+yz}}{\frac{\frac{xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}}}{x}}=\frac{x}{\sqrt{xy+xz+yz}}.
Аналогично для \tg\frac{\beta}{2}
и \tg\frac{\gamma}{2}
.
б)
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{xy+xz+yz}{x^{2}}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+xy+xz+yz}}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}.
Аналогично для \sin\frac{\beta}{2}
и \sin\frac{\gamma}{2}
.
Примечание. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.