11161. Пусть радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон
BC
,
AC
и
AB
треугольника со сторонами
BC=a
,
AC=b
и
AB=c
, равны
x
,
y
и
z
соответственно, а
\alpha
,
\beta
и
\gamma
— углы треугольника при вершинах
A
,
B
и
C
соответственно. Докажите, что:
а)
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{\sqrt{xy+xz+yz}}
,
\tg\frac{\beta}{2}=\frac{y}{\sqrt{xy+xz+yz}}
,
\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{z}{\sqrt{xy+xz+yz}}
;
б)
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}
,
\sin\frac{\beta}{2}=\frac{y}{\sqrt{(y+x)(y+z)}}
,
\sin\frac{\gamma}{2}=\frac{z}{\sqrt{(z+x)(z+y)}}
.
Решение. а) Пусть
p
— полупериметр треугольника
ABC
со сторонами
BC=a
,
AC=b
и
AB=c
,
r
— радиус вписанной окружности,
S
— площадь. По формулам
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{p-a}
(см. задачу 324в),
p-a=\frac{S}{x}
(см. задачу 392),
r=\frac{xyz}{xy+xz+yz}
(см. задачу 11160б) и
S=\frac{xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}}
(см. задачу 11160а) получаем, что
\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{r}{p-a}=\frac{\frac{xyz}{xy+xz+yz}}{\frac{S}{x}}=\frac{\frac{xyz}{xy+xz+yz}}{\frac{\frac{xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}}}{x}}=\frac{x}{\sqrt{xy+xz+yz}}.

Аналогично для
\tg\frac{\beta}{2}
и
\tg\frac{\gamma}{2}
.
б)
\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{xy+xz+yz}{x^{2}}}}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+xy+xz+yz}}=\frac{x}{\sqrt{(x+y)(x+z)}}.

Аналогично для
\sin\frac{\beta}{2}
и
\sin\frac{\gamma}{2}
.
Примечание. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 8, с. 40