11160. Пусть радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон BC
, AC
и AB
треугольника со сторонами BC=a
, AC=b
и AB=c
, равны x
, y
и z
соответственно, r
, R
, S
и p
— радиусы вписанной и описанной окружностей, площадь и полупериметр треугольника, h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты, опущенные на стороны BC
, AC
и AB
соответственно. Докажите, что:
а) S=\frac{xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}}
;
б) r=\frac{xyz}{xy+xz+yz}
;
в) R=\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{4(xy+xz+yz)}
;
г) h_{a}=\frac{2yz}{y+z}
, h_{b}=\frac{2xz}{x+z}
, h_{c}=\frac{2xy}{x+y}
.
Решение. а) Из формул
x=\frac{S}{p-a},~y=\frac{S}{p-b},~z=\frac{S}{p-c}
(см. задачу 392) следует, что
xyz=\frac{S^{3}}{(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{S^{3}p}{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\frac{S^{3}p}{S^{2}}=Sp.
Следовательно (см. задачу 3244),
S=\frac{xyz}{p}=\frac{xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}}.
б) Из формулы r=\frac{S}{p}
(см. задачу 452) и пункта а) получаем, что
r=\frac{S}{p}=\frac{xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}\cdot\sqrt{xy+xz+yz}}=\frac{xyz}{xy+xz+yz}.
в) Из формул S=\frac{abc}{4R}
(см. задачу 4259),
a=\frac{x(y+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}},~b=\frac{y(x+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}},~c=\frac{z(x+y)}{\sqrt{xy+xz+yz}}
(см. задачу 11159) и пункта а) получаем, что
R=\frac{abc}{4S}=\frac{\frac{x(y+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}}\cdot\frac{y(x+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}}\cdot\frac{z(x+y)}{\sqrt{xy+xz+yz}}}{\frac{4xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}}}=\frac{(x+y)(x+z)(y+z)}{4(xy+xz+yz)}.
г) Из формулы S=\frac{1}{2}ah_{a}
, задачи 11159 и пункта а) получаем, что
h_{a}=\frac{2S}{a}=\frac{\frac{2xyz}{\sqrt{xy+xz+yz}}}{\frac{x(y+z)}{\sqrt{xy+xz+yz}}}=\frac{2yz}{y+z}.
Аналогично получаем h_{b}
и h_{c}
.
Примечание. См. также статью В.Дроздова «Треугольник и классические неравенства», Квант, 2019, N8, с.40-41.