392. Докажите, что площадь треугольника можно выразить по формуле
S=(p-a)r_{a}
, где
r_{a}
— радиус вневписанной окружности, касающейся стороны, равной
a
,
p
— полупериметр треугольника.
Решение. Первый способ. Пусть
O
— центр окружности радиуса
r_{a}
, касающейся стороны
BC=a
треугольника
ABC
в точке
Q
, а продолжений сторон
AB=c
и
AC=b
— в точках
M
и
N
соответственно. Тогда
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}AB\cdot OM+\frac{1}{2}AC\cdot ON-\frac{1}{2}BC\cdot OQ=

=\frac{1}{2}c\cdot r_{a}+\frac{1}{2}b\cdot r_{a}-\frac{1}{2}a\cdot r_{a}=\frac{c+b-a}{2}r_{a}=(p-a)r_{a}.

Второй способ. Пусть вписанная окружность с центром
I
касается стороны
AB=a
треугольника
ABC
в точке
P
, а вневписанная окружность с центром
O
, касающаяся стороны
BC
, касается продолжения стороны
AB
в точке
N
. Тогда
AP=p-a
(см. задачу 219) и
AQ=p
(см. задачу 1750).
Точки
I
и
O
лежат на одной прямой (см. задачу 1724), поэтому прямоугольные треугольники
AIP
и
AON
подобны. Следовательно,
\frac{r}{r_{a}}=\frac{AP}{AN}=\frac{p-a}{p}.

Следовательно (см. задачу 452),
S_{\triangle ABC}=pr=(p-a)r_{a}.


Примечание. См. также статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Вневписанная окружность», Квант, 2009, N2, с.34-37, 45.
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 87, с. 144
Источник: Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1948. — № 299, с. 233
Источник: Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. — М.: Наука, 1966. — № 1.52, с. 28
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия 7—9: Учебник для общеобразовательных учебных заведений. — М.: Дрофа, 2002. — с. 257
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 15
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — с. 81
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 16а, с. 57