1750. Окружность касается стороны BC
треугольника ABC
в точке M
и продолжений двух других сторон. Докажите, что прямая AM
делит периметр треугольника пополам.
Указание. Примените теорему о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Решение. Пусть окружность касается прямых AB
и AC
в точках P
и Q
соответственно. По теореме о равенстве отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки,
BM=BP,~CM=CQ,~AP=AQ,
поэтому
AB+BM=AB+BP=AP,~AC+CM=AC+CQ=AQ.
Следовательно, AB+BM=AC+CM=p
, где p
— полупериметр треугольника.