11165. Дан произвольный треугольник ABC
. На продолжении сторон AB
и AC
за точку A
отложим отрезки AA_{1}
и AA_{2}
, равные стороне BC
. Аналогично строятся отрезки BB_{1}
, BB_{2}
и отрезки CC_{1}
и CC_{2}
. Докажите, что точки A_{1}
, A_{2}
, B_{1}
, B_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на одной окружности (окружность Конвея).
Решение. Пусть BC=a
, AC=b
, AB=c
, p
— полупериметр треугольника ABC
, r
— радиус вписанной окружности, I
— её центр, M
— точка касания со стороной AB
.
Тогда MA=p-a
(см. задачу 219), поэтому
MA_{1}=MA+AA_{1}=(p-a)+a=p.
Из прямоугольного треугольника IMA_{1}
получаем, что
IA_{1}=\sqrt{IM^{2}+MA_{1}^{2}}=\sqrt{r^{2}+p^{2}}.
Аналогично докажем, что расстояния от точки I
до точек A_{2}
, B_{1}
, B_{2}
, C_{1}
, C_{2}
также равны \sqrt{r^{2}+p^{2}}
. Следовательно, все шесть точек, о которых говорится в условии, лежат на окружности с центром I
и радиусом \sqrt{r^{2}+p^{2}}
.
Примечание. См. также статью Н.Вяткина «Точка Нагеля и окружности пяти точек», Квант, 2019, N9, с.25-30.