11169. В окружность радиуса 13 вписаны трапеция ABCD
(AD\parallel BC
) и прямоугольник A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
таким образом, что AC\perp B_{1}D_{1}
и BD\perp A_{1}C_{1}
. Найдите отношение площади трапеции к площади прямоугольника, если известно, что AD=10
и BC=24
.
Ответ. \frac{1}{2}
или \frac{289}{338}
.
Решение. Проведём через центр O
окружности прямую, перпендикулярную основаниям трапеции. Пусть она пересекает AD
и BC
в точках N
и M
соответственно. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам, поэтому
BM=MC=12,~AN=ND=5.
По теореме Пифагора из треугольников OND
и OMC
находим, что
ON=\sqrt{OD^{2}-DN^{2}}=12,~OM=\sqrt{OC^{2}-MC^{2}}=5.
Возможны два случая.
1) Точка O
не лежит на отрезке MN
(рис. 1). Тогда высота трапеции есть
MN=ON-OM=7.
Пусть H
— основание перпендикуляра, опущенного из вершины D
на основание BC
. Тогда DH=MN=7
. Трапеция вписанная, поэтому она равнобедренная, значит,
BH=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+24}{2}=17.
Тогда
AC=BD=\sqrt{DH^{2}+BH^{2}}=\sqrt{338}=13\sqrt{2}.
Площадь любого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на на синус угла между ними (см. задачу 3018). Диагонали прямоугольника A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
перпендикулярны диагоналям трапеции ABCD
, поэтому угол между ними равен углу между диагоналями трапеции. Обозначим этот угол через \alpha
. Кроме того, диагонали прямоугольника, вписанного в окружность, являются её диаметрами, поэтому A_{1}C_{1}=B_{1}D_{1}=26
. Тогда
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha=169\sin\alpha,
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\alpha=338\sin\alpha.
Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{169\sin\alpha}{338\sin\alpha}=\frac{1}{2}.
2) Точка O
лежит на отрезке MN
(рис. 2). Тогда
BH=17,~BD=\sqrt{DH^{2}+BH^{2}}=17\sqrt{2}.
Аналогично первому случаю находим, что
S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\beta=289\sin\beta,
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\beta=338\sin\alpha,
Следовательно,
\frac{S_{ABCD}}{S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}}=\frac{289\sin\beta}{338\sin\beta}=\frac{289}{338}.