11173. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
проведена диагональ BD
, и в каждый из полученных треугольников ABD
и BCD
вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину B
и центр одной из окружностей, пересекает сторону DA
в точке M
. При этом AM=\frac{8}{5}
и MD=\frac{12}{5}
. Аналогично, прямая, проходящая через вершину D
и центр второй окружности, пересекает сторону BC
в точке N
. При этом BN=\frac{30}{11}
и NC=\frac{25}{11}
.
а) Найдите отношение AB:CD
.
б) Найдите длины сторон AB
и CD
, если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.
Ответ. а) AB:CD=4:5
, б) AB=4
, CD=5
.
Решение. а) Биссектриса треугольника делит его сторону пропорционально двум другим сторонам (см. задачу 1509), поэтому
AB:BD=AM:MD=2:3,~BD:DC=BN:NC=6:5.
Следовательно,
AB:CD=\frac{2}{3}\cdot\frac{6}{5}=4:5.
б) Первый способ. Обозначим точки касания окружности, вписанной в треугольник ABD
, с его сторонами AB
, AD
, BD
через P
, F
, K
соответственно; точки касания окружности, вписанной в треугольник BCD
, с его сторонами BC
, CD
, BD
— через Q
, E
, K
соответственно (по условию точка касания со стороной BD
общая).
Пусть BK=x
, KD=y
. Используя равенство отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения
BQ=BP=BK=x,~DF=DE=DK=y,~AF=AD-DF=4-y,
AP=AF=4-y,~CQ=BC-BQ=5-x,~CE=CQ=5-x,
AB=AP+PB=4+x-y,~CD=5-x+y.
В пункте а) было получено, что AB:CD=4:5
, поэтому
\frac{4+x-y}{5-x+y}=\frac{4}{5}~\Rightarrow~x=y.
Тогда
AB=4,~CD=5.
Второй способ. Поскольку вписанные окружности треугольников ABD
и BCD
касаются диагонали BD
в одной и то же точке, четырёхугольник ABCD
описанный (см. задачу 10506). Следовательно,
AB+CD=BC+AD=(BN+NC)+(AM+MD)=
=\left(\frac{30}{11}+\frac{25}{11}\right)+\left(\frac{8}{5}+\frac{12}{5}\right)=5+4=9,
а так как \frac{AB}{CD}=\frac{4}{5}
(см. пункт а)), то
AB=4,~CD=5.
Источник: Журнал «Квант». — 2018, № 10, с. 40, задача 3
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2018, задача 3, 10 класс