11180. Пусть ABC
— равнобедренный треугольник (AC=CB
), AH
и CL
— высоты, I
— центр вписанного круга. Докажите, что проекция CH
стороны AC
на сторону BC
равна стороне AB
тогда и только тогда, когда IH\parallel AB
.
Решение. Пусть CH=AB
. Тогда
\frac{BH}{HC}=\frac{BH}{AB}=\tg\angle ABC=\frac{AL}{AC}=\frac{LI}{IC},
так как BI
— биссектриса треугольника ACL
(см. задачу 1509). Следовательно, IH\parallel AB
.
Эти же выкладки, проведённые в обратном порядке, доказывают и обратное утверждение.
Автор: Полянский А. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2005, № 2, с. 12, М1946; 2005, № 5, с. 17, М1946
Источник: Задачник «Кванта». — 2005, № 2, М1946