11192. Пусть B_{0}
— середина стороны AC
треугольника ABC
. Обозначим через A_{1}
и A_{2}
центры вписанной и касающейся AB
вневписанной окружности треугольника ABB_{0}
. Аналогично для треугольника CBB_{0}
определим точки C_{1}
и C_{2}
. Докажите, что точки A_{1}
, A_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на одной окружности.
Решение. Обозначим \angle BAC=\alpha
. Лучи BA_{1}
и B_{0}A_{1}
— биссектрисы углов ABB_{0}
и AB_{0}B
, поэтому
\angle BA_{1}B_{0}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
На луче B_{0}A_{1}
лежит и точка A_{2}
(см. задачу 1192), поэтому \angle BB_{0}A_{1}=\angle AB_{0}A_{2}
, а так как точка A_{2}
лежит также на биссектрисе внешнего угла при вершине A
треугольника ABB_{0}
, то
\angle B_{0}AA_{2}=\alpha+\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}=\angle BA_{1}B_{0}.
Значит, треугольники B_{0}A_{1}B
и B_{0}AA_{2}
подобны по двум углам. Тогда \frac{B_{0}A_{1}}{B_{0}A}=\frac{B_{0}B}{B_{0}A_{2}}
, или B_{0}A_{1}\cdot B_{0}A_{2}=B_{0}A\cdot B_{0}B
.
Аналогично докажем равенство B_{0}C_{1}\cdot B_{0}C_{2}=B_{0}C\cdot B_{0}B
, а так как B_{0}A=B_{0}C
, то B_{0}C_{1}\cdot B_{0}C_{2}=B_{0}A_{1}\cdot B_{0}A_{2}
. Следовательно (см. задачу 114), точки A_{1}
, A_{2}
, C_{1}
, C_{2}
лежат на одной окружности.
Автор: Емельянов Л. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2008, № 3, с. 23, М2098; 2008, № 6, с. 14, М2098
Источник: Задачник «Кванта». — 2008, № 3, М2098