11197. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке P
. Пусть K
, L
, M
, N
— середины сторон AB
, BC
, CD
, DA
соответственно. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников PKL
, PLM
, PMN
, PNK
равны.
Решение. Треугольники BAP
и CDP
(см. рисунок) подобны по двум углам, поэтому их соответствующие медианы образуют равные углы с соответствующими сторонами, т. е. \angle AKP=\angle DMP
. Значит, треугольники AKP
и DMP
тоже подобны по двум углам. Следовательно, \angle APK=\angle DPM
.
Отрезки KL
и ML
— средние линии треугольников ABC
и BCD
, поэтому KL\parallel AC
, ML\parallel BD
. Значит,
\angle LKP=\angle APK=\angle DPM=\angle LMP.
Углы LKP
и LMP
, опирающиеся на отрезок LP
, равны. Значит, равны и радиусы описанных окружностей треугольников PKL
и PLM
(см. задачу 23).
Остальные равенства доказываются аналогично.