11205. Отрезки AA'
, BB'
и CC'
с концами на сторонах остроугольного треугольника ABC
пересекаются в точке P
внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку P
. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что P
— точка пересечения высот треугольника ABC
.
Решение. Пусть 2x
— длина указанных хорд. По теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд (см. задачу 2627)
x^{2}=AP\cdot A'P=PB\cdot B'P=CP\cdot C'P.
По обратной теореме (см. задачу 114) точки A
, A'
, B
и B'
лежат на одной окружности. Значит, \angle AA'B=\angle AB'B
. Аналогично,
\angle AA'C=\angle AC'C,~\angle BB'C=BC'C.
Значит,
\angle AA'B=\angle AB'B=180^{\circ}-\angle BB'C=180^{\circ}-\angle BC'C=\angle AC'C=\angle AA'C,
Следовательно,
\angle AA'B=\angle AA'C=90^{\circ},
т. е. AA'
— высота. Аналогично, BB'
и CC'
— высоты.
Автор: Гальперин Г. А.
Источник: Турнир городов. — 2019-2020, XLI, осенний тур, сложный вариант, 10-11 классы, № 2
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 12, с. 35, задача 2