11208. В треугольнике со сторонами a
, b
, c
и углами \alpha
, \beta
, \gamma
выполнено равенство 3\alpha+2\beta=180^{\circ}
. Докажите, что c^{2}=a^{2}+bc
. Стороны a
, b
, c
лежат напротив углов \alpha
, \beta
, \gamma
соответственно.
Решение. Из условия следует, что
3\alpha+2\beta=\alpha+\beta+\gamma,
откуда
\gamma=2\alpha+\beta\gt\beta.
Значит, c\gt b
(см. задачу 3499).
Найдём на отрезке AB
такую точку D
, что AC=AD
. Тогда треугольник ACD
равнобедренный и
\angle ACD=\angle ADC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha)=
=\frac{1}{2}(3\alpha+2\beta-\alpha)=\frac{1}{2}(2\alpha+2\beta)=\alpha+\beta.
Угол ADC
— внешний угол треугольника CBD
. Значит,
\angle BCD+\beta=\angle ADC=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\alpha+\beta.
Тогда \angle BCD=\alpha
, и треугольники BCD
и BAC
подобны по двум углам. Значит, \frac{BD}{BC}=\frac{BC}{AB}
, или \frac{c-b}{a}=\frac{a}{c}
, откуда следует искомое соотношение.
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 12, с. 23, задача 5
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2017, № 12, задача 6, 8-9 класс