11210. Найдите отношение суммы катетов прямоугольного треугольника к его площади, если длина биссектрисы прямого угла равна \frac{1}{\sqrt{2}}
.
Ответ. 4.
Решение. Пусть катеты равны a
и b
, площадь треугольника равна S
, а биссектриса равна l
. Тогда
S=\frac{ab}{2},~\frac{1}{\sqrt{2}}=l=\frac{2ab\cos45^{\circ}}{a+b}
(см. задачу 4021), откуда
\frac{ab}{a+b}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2\cos45^{\circ}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{1}{2}.
Значит,
\frac{S}{a+b}=\frac{ab}{2(a+b)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{ab}{a+b}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}~\Rightarrow~\frac{a+b}{S}=4.
Источник: Олимпиада Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. — 2019, отборочный тур, задача 10
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 10, с. 44, задача 10