11237. Вписанная в треугольник ABC
окружность касается сторон AC
, AB
в точках K
и L
соответственно. Перпендикуляр из центра O
этой окружности на медиану AM
пересекает прямую KL
в точке F
. Докажите,что AF\parallel BC
.
Решение. Пусть прямая KL
и прямая, проведённая через вершину A
параллельно BC
, пересекаются в точке F'
. Покажем, что точка F'
совпадает с точкой F
из условия. Рассмотрим треугольник AOF'
. Заметим, что точка N
— ортоцентр треугольника AOF'
. Значит, прямая ON
содержит третью высоту (см. задачу 1256). Тогда прямая AF'
перпендикулярна медиане AM
(см. задачу 6065) треугольника ABC
. Прямая OF'
удовлетворяет условию задачи, поэтому точки F
и F'
действительно совпадают. Отсюда следует утверждение задачи.
Примечание. См. также статью Д.Прокопенко, Д.Швецова «Вокруг точки на медиане», Квант, 2020, N2, с.42-46.
Автор: Ивлев Ф. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2013, IX, заочный тур, № 16, 9-11 классы
Источник: Журнал «Квант». — 2020, № 2, с. 42, задача 1