6065. Диаметр вписанной окружности треугольника
ABC
, проходящий через точку касания со стороной
BC
, пересекает хорду, соединяющую две другие точки касания, в точке
N
. Докажите, что прямая
AN
делит сторону
BC
пополам.
Решение. Первый способ. Пусть вписанная окружность с центром
O
треугольника
ABC
касается сторон
AC
и
AB
в точках
K
и
L
соответственно, а прямая, проведённая через точку
N
параллельно
BC
, пересекает стороны
AC
и
AB
в точках соответственно
X
и
Y
. Предположим, что точка
K
лежит между
A
и
X
.
Из точек
K
и
N
отрезок
OX
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
OX
. Вписанные в эту окружность углы
OXN
и
OKN
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle OXN=\angle OKN=\angle OKL
. Аналогично
\angle OYN=\angle OLK
, а так как
OK=OL
, то
\angle OKL=\angle OLK
, поэтому
\angle OXN=\angle OYN
. Значит,
N
— середина основания
XY
равнобедренного треугольника
OXY
, а так как
XY\parallel BC
, то прямая
AN
проходит через середину стороны
BC
(см. задачу 2607). Что и требовалось доказать.
Второй способ. Заметим, что точки
K
,
L
и
N
— проекции точки
O
на прямые, содержащие стороны треугольника
AXY
. Поскольку точки
K
,
L
и
N
лежат на одной прямой, точка
O
лежит на описанной окружности треугольника
AXY
(см. задачу 6088). Луч
AO
— биссектриса угла
A
, поэтому
O
— середина дуги
XOY
. Значит,
N
— середина
XY
(
ON
— высота равнобедренного треугольника
XOY
), а так как
XY\parallel BC
, то прямая
AN
проходит через середину стороны
BC
(см. задачу 2607). Что и требовалось доказать.

Примечание. 1. См. также статью Д.Прокопенко, Д.Швецова «Вокруг точки на медиане», Квант, 2020, N2, с.42-46.
2. Верно также следующее обобщение доказанного утверждения. Если из некоторой точки
T
биссектрисы угла
A
треугольника
ABC
опущены перпендикуляры
TA_{1}
,
TB_{1}
и
TC_{1}
на его стороны
BC
,
CA
и
AB
соответственно, а
P
— точка пересечения прямых
TA_{1}
и
B_{1}C_{1}
, то прямая
AP
делит сторону
BC
пополам. (Доказательство аналогично изложенному выше.)
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 475, с. 57