11247. Докажите, что среднее арифметическое длин сторон произвольного выпуклого многоугольника меньше среднего арифметического длин его диагоналей.
Решение. Пусть n
(n\geqslant4
) — число сторон многоугольника. Тогда число его диагоналей равно \frac{n(n-3)}{2}
. Таким образом нужно доказать, что
\frac{s}{n}\lt\frac{d}{\frac{n(n-3)}{2}}
где s
— сумма длин всех сторон многоугольника, d
— сумма длин всех его диагоналей.
Рассмотрим две несмежные стороны AB
и CD
и две пересекающиеся диагонали AC
и BD
. По свойству выпуклого четырёхугольника (см. задачу 3516)
AB+CD\lt AC+BD.
Сложим такие неравенства для всех пар несмежных сторон. Каждая сторона входит в n-3
пары, а каждая диагональ — в две, поэтому в левой части получим s(n-3)
, а в правой — 2d
. Получим неравенство s(n-3)\lt2d
, которое равносильно неравенству
\frac{s}{n}\lt\frac{d}{\frac{n(n-3)}{2}}