11253. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
из вершины прямого угла. Точки I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ADC
и BDC
, P
и Q
— точки пересечения с гипотенузой AB
лучей CI_{1}
и CI_{2}
соответственно. Докажите, что S_{\triangle PCQ}=\frac{abr}{c}
, где a
и b
— катеты треугольника, c
— гипотенуза, r
— радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Пусть h
— высота прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла C
. Тогда h=\frac{ab}{c}
(см. задачу 1967). Кроме того, PQ=2r
(см. пункт е) задачи 11252). Следовательно,
S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}PQ\cdot h=\frac{1}{2}\cdot2r\cdot\frac{ab}{c}=\frac{abr}{c}.
Примечание. См. статью Л.Д.Курляндчика «Прямоугольный треугольник», Квант, 1989, N3, с.56-58.