11254. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
из вершины прямого угла. Точки I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ADC
и BDC
, P
и Q
— точки пересечения с гипотенузой AB
лучей CI_{1}
и CI_{2}
соответственно. Докажите, что середина отрезка I_{1}I_{2}
— центр окружности девяти точек треугольника PCQ
.
Решение. Точка I
— центр описанной окружности треугольника PCQ
(см. пункт б) задачи 11252). Точки I_{1}
и I_{2}
лежат на окружности с диаметром PQ
(см. пункт е) задачи 11252), поэтому PI_{2}
и PI_{1}
— высоты треугольника PCQ
, а точка H
их пересечения — ортоцентр треугольника PCQ
.
Прямая AI
перпендикулярна CQ
((см. пункт б) задачи 11252), поэтому прямые AI
и PI_{2}
параллельны. Аналогично, прямые BI
и QI_{1}
также параллельны. Значит, HI_{1}II_{2}
— параллелограмм, а точка O
пересечения его диагоналей — середина отрезка I_{1}I_{1}
, т. е. центр окружности девяти точек треугольника PCQ
(см. задачу 174).
Примечание. См. статью Л.Д.Курляндчика «Прямоугольный треугольник», Квант, 1989, N3, с.56-58.