11256. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
из вершины прямого угла. Точки I
, I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ABC
, ADC
и BDC
. Докажите, что описанные окружности треугольников AI_{1}C
и BI_{2}C
касаются, причём CI
— их общая касательная.
Решение. Лучи CI
и CI_{1}
— биссектрисы углов ACB
и ACD
, поэтому
\angle ICI_{1}=\angle ACI-\angle ACI_{1}=\frac{1}{2}\angle ACB-\frac{1}{2}\angle ACD=45^{\circ}-\frac{\beta}{2}=\frac{\alpha}{2}=\angle CAI_{1}.
По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой (см. задачу 144), CI
— касательная к описанной окружности треугольника AI_{1}C
. Аналогично для описанной окружности треугольника BI_{2}C
.
Примечание. См. статью Л.Д.Курляндчика «Прямоугольный треугольник», Квант, 1989, N3, с.56-58.