11258. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
из вершины прямого угла. Точки I
, I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ABC
, ADC
и BDC
. Докажите, что I_{1}I_{2}=CI
.
Решение. Поскольку лучи CI_{1}
и CI_{2}
— биссектрисы углов ACD
и BCD
, сумма которых равна 90^{\circ}
, то \angle I_{1}CI_{2}=45^{\circ}
. Точка I
— ортоцентр треугольника II_{1}I_{2}
(см. пункт б) задачи 11252).
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника II_{1}I_{2}
, OT
— перпендикуляр к отрезку I_{1}I_{2}
. Тогда I_{1}II_{2}
— центральный угол этой окружности, соответствующий вписанному углу I_{1}CI_{2}
. Значит, \angle I_{1}II_{2}=90^{\circ}
, а OT
— высота и медиана равнобедренного прямоугольного треугольника I_{1}OI_{2}
. Следовательно, CI=2OT=I_{1}I_{2}
(см. задачу 1257). Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью Л.Д.Курляндчика «Прямоугольный треугольник», Квант, 1989, N3, с.56-58.