11262. В прямоугольном треугольнике проведена высота CH
из вершины прямого угла. Известно, что S_{\triangle ACH}=S_{1}
и S_{\triangle BCH}=S_{2}
. Найдите CH
.
Ответ. \sqrt[{4}]{{S_{1}S_{2}}}
Решение. Обозначим CH=h
, BC=a
, AC=b
, BH=a'
, AH=b'
. Тогда
2S_{1}=b'h,~2S_{2}=a'h,
поэтому
4S_{1}S_{2}==b'h\cdot a'h=a'b'\cdot h^{2}=h^{2}\cdot h^{2}=h^{4}
(см. задачу 2728). Следовательно, h=\sqrt[{4}]{{S_{1}S_{2}}}
.
Примечание. См. статью Г.Филипповского «Как всегда, на высоте», Квант, 2010, N5, с.36-39.