11264. Точки A
, B
и C
лежат на одной прямой, причём точка B
лежит между A
и C
. Полуокружности с диаметрами AB
, BC
и AC
расположены по одну сторону от прямой AC
. Общая касательная в точке B
к первым двум полуокружностям пересекает третью полуокружность в точке E
, а другая прямая касается первых двух полуокружностей в точках U
и V
соответственно. Найдите отношение площадей треугольников EUV
и AEC
, если радиусы первых двух полуокружностей равны r_{2}
и r_{2}
соответственно.
Ответ. \frac{r_{1}r_{2}}{(r_{1}+r_{2})^{2}}
.
Указание. См. задачу 503.
Решение. Четырёхугольник BVEU
— прямоугольник (см. задачу 503), поэтому
\angle EUB=90^{\circ}=\angle AUB.
Значит, точка U
лежит на отрезке AE
. Аналогично, точка V
лежит на отрезке CE
. Из параллельности AE\parallel BV
и теоремы об угле между касательной и хордой получаем
\angle EUV=\angle UVB=\angle BCV=\angle ACE,
поэтому прямоугольные треугольники EUV
и ECA
подобны, причём коэффициент подобия равен
\frac{UV}{AC}=\frac{2\sqrt{r_{1}r_{2}}}{2r_{1}+2r_{2}}=\frac{\sqrt{r_{1}r_{2}}}{r_{1}+r_{2}}
(см. задачу 365). Следовательно, отношение площадей эти треугольников равно квадрату коэффициента подобия, т. е. \frac{r_{1}r_{2}}{(r_{1}+r_{2})^{2}}
.
Источник: Люксембургские математические олимпиады. — 1980
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1986, № 1, задача 2 (1981, с. 43), с. 6