11281. Дан равнобедренный треугольник
ABC
, где
AB=AC
. Предположим, что:
(i)
M
— середина
BC
,
O
— такая точка на прямой
AM
, что
OB\perp AB
;
(ii)
Q
— точка отрезка
BC
, отличная от
B
и
C
;
(iii) точка
E
лежит на прямой
AB
, точка
F
лежит на прямой
AC
, и при этом точки
E
,
Q
и
F
различны и лежат на одной прямой.
Докажите, что
OQ
и
EF
перпендикулярны тогда и только тогда, когда
QE=QF
.
Решение. Пусть
OQ\perp EF
. Из точек
B
и
Q
отрезок
EO
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром
EO
. Аналогично, точки
C
и
Q
лежат на окружности с диаметром
OF
. Тогда
\angle OEQ=\angle OBQ=\angle OCQ=\angle OFQ,

поэтому треугольник
EOF
равнобедренный, и
QE=QF
.
Обратно, пусть
OE=OF
, а
OQ
— не перпендикуляр к
EF
. Докажем, что тогда
QE\ne QF
.
Пусть перпендикуляр, опущенный из точки
O
на
EF
, пересекает
BC
в точке
Q'
, а луч
AQ'
пересекает отрезок
EF
в точке
K
. Проведём через эту точку прямую
E'F'
, параллельную
EF
(точки
E'
и
F'
лежат на прямых
AB
и
AC
соответственно). Тогда, по ранее доказанному,
Q'
— середина отрезка
E'F'
, поэтому
K
— середина отрезка
EF
(см. задачу 2607). При этом точка
K
отлична от
Q
, значит,
Q
— не середина
EF
.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1992, XXXV
Источник: Журнал «Квант». — 1994, № 6, с. 20, М1468; 1995, № 3, с. 22-23, М1468
Источник: Задачник «Кванта». — М1468