11282. ABCD
— вписанный четырёхугольник. На лучах BA
и DC
отложим отрезки BM
и DP
, равные \frac{AB+CD}{2}
. Аналогично, на лучах CB
и AD
отложим отрезки CN
и AQ
, равные \frac{BC+AD}{2}
. Докажите, что MNPQ
— прямоугольник и что его площадь равна площади четырёхугольника ABCD
.
Решение. Можно считать, что в нашем четырёхугольнике AB\leqslant CD
и BC\leqslant AD
(поскольку утверждение задачи не изменится, если мы циклическим образом изменим обозначения вершин). В этом случае точки M
, N
, P
, Q
будут расположены на сторонах или их продолжениях так, как показано на рисунке, причём
MA=CP=\frac{CD-AB}{2},~\angle MBN=\angle PDQ,~\angle NCP=\angle QAM.
Значит, треугольник MBN
равен треугольнику PDQ
, а треугольник NCP
— треугольнику QAM
(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно,
S_{ABCD}=S_{ABCD}+S_{\triangle MBN}-S_{\triangle PDQ}+S_{\triangle QAM}-S_{\triangle NCP}=S_{MNPQ}.
Кроме того, MNPQ
— параллелограмм (так как MN=PQ
и NP=MQ
и эти отрезки не пересекаются). Заметим также, что поскольку \angle BMN=\angle DPQ
, прямая MN
параллельна биссектрисе угла, образованного пересечением продолжений сторон AB
и CD
. Аналогично, прямая NP
параллельна биссектрисе угла, образованного пересечением продолжений сторон BC
и AD
. Поскольку эти биссектрисы перпендикулярны (см. задачу 162), MN\perp NP
. Следовательно, MNPQ
— прямоугольник.