11286. Треугольник имеет целые длины сторон x
, y
, z
, причём известно, что длина одной из его высот равна сумме длин двух других высот. Докажите, что x^{2}+y^{2}+z^{2}
— квадрат целого числа.
Решение. Пусть z
— наименьшая из сторон треугольника, S
— его площадь. В треугольнике к наименьшей стороне проведена наибольшая высота (см. задачу 3536), поэтому из условия задачи следует, что
\frac{2S}{z}=\frac{2S}{x}+\frac{2S}{y},
откуда xy-xz-yz=0
. Значит,
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x-y-z)^{2}+2xy+2xz-2yz=
=(x-y-z)^{2}+2(xy+xz-yz)=(x-y-z)^{2}.
Что и требовалось доказать.