11287. Докажите справедливость формулы для углов \alpha
, \beta
, \gamma
треугольника ABC
:
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.
Решение. Первый способ. Складывая равенства
\sin2\alpha+\sin2\beta=2\sin(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta)
и
\sin2\gamma=2\sin\gamma\cos\gamma=-2\sin\gamma\cos(\alpha+\beta),
получим, что
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=2\sin\gamma\cos(\alpha-\beta)-2\sin\gamma\cos(\alpha+\beta)=
=2\sin\gamma(\cos(\alpha-\beta)-\cos\alpha(\alpha+\beta))=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.
Второй способ. Пусть O
— центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC
с углами
\angle A=\alpha,~\angle B=\beta,~\angle C=\gamma,
R
— радиус окружности. Тогда
AO=BO=CO=R,~\angle BOC=2\alpha,~\angle AOC=2\beta,~\angle AOB=2\gamma.
Поскольку площадь S
треугольника ABC
складывается из площадей треугольников BOC
, AOC
и AOB
, то
S=\frac{1}{2}R^{2}(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma).
С другой стороны,
S=2R^{2}\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma
(см. задачу 4258). Приравняв правые части последних двух равенств, получим, что
\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma=4\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.
Что и требовалось доказать.
Если треугольник ABC
не остроугольный (например, \alpha\geqslant90^{\circ}
), то \angle BOC=360^{\circ}-2\alpha
, а
S=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle AOC}-S_{\triangle BOC}=
=\frac{1}{2}R^{2}\sin2\beta+\frac{1}{2}R^{2}\sin2\gamma-\frac{1}{2}R^{2}\sin(360^{\circ}-2\alpha)=
=\frac{1}{2}R^{2}(\sin2\alpha+\sin2\beta+\sin2\gamma).
Значит, получим тот же результат.
Примечание. 1. Следствие. Заменив углы 2\alpha
, 2\beta
, 2\gamma
на углы 180^{\circ}-\alpha
, 180^{\circ}-\beta
, 180^{\circ}-\gamma
(что корректно, поскольку и та, и другая суммы равны по 360^{\circ}
), получим ещё одну важную формулу для углов треугольника:
\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma=4\cos\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\gamma}{2}.
2. См. статью Г.Филипповского «Замечательные точки треугольника и тригонометрия», Квант, 2010, N4, с.31, 34-35.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.42, с. 292
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 12.40, с. 304
Источник: Журнал «Квант». — 2010, № 4, с. 31, задача 2