11295. Пусть стороны треугольника равны a
, b
, c
, полупериметр треугольника равен p
, радиус вписанной окружности равен r
. Докажите, что:
\frac{1}{(p-a)(p-b)}+\frac{1}{(p-b)(p-c)}+\frac{1}{(p-a)(p-c)}=\frac{1}{r^{2}}.
Решение. Пусть r_{a}
, r_{b}
, r_{c}
— радиусы вневписанных окружностей треугольника, касающихся сторон, равных a
, b
и c
соответственно. Тогда
rr_{a}=(p-b)(p-c),~rr_{b}=(p-a)(p-c),~rr_{c}=(p-a)(p-b)
(см. задачу 3242). Следовательно,
\frac{1}{(p-a)(p-b)}+\frac{1}{(p-b)(p-c)}+\frac{1}{(p-a)(p-c)}=
=\frac{1}{rr_{c}}+\frac{1}{rr_{a}}+\frac{1}{rr_{b}}=\frac{1}{r}\left(\frac{1}{r_{c}}+\frac{1}{r_{a}}+\frac{1}{r_{b}}\right)=\frac{1}{r}\cdot\frac{1}{r}=\frac{1}{r^{2}}
(см. задачу Люилье, 6144(а)).