11303. Постройте треугольник по точке пересечения медиан, центру вписанной окружности и прямой, содержащей сторону.
Решение. Пусть G
— точка пересечения медиан искомого треугольника ABC
, I
— центр его вписанной окружности, a
— прямая, содержащая сторону BC
.
Опустим перпендикуляр IP
из данной точки I
на данную прямую a
. Тогда отрезок IP
— радиус вписанной окружности искомого треугольника ABC
. Построим на отрезке PG
точку L
делящую его в отношении GL:LP=1:3
. Проведём прямую IL
. Пусть A_{1}
— точка её пересечения с данной прямой a
. Тогда A_{1}
— середина искомой стороны BC
(см. задачу 11300).
На продолжении отрезка A_{1}G
за точку G
построим такую точку A
, чтобы AG=2GA_{1}
. Наконец, через точку A
проведём касательные к окружности с центром I
и радиусом, равным отрезку IP
. Точки пересечения этих касательных с данной прямой a
— вершины B
и C
искомого треугольника ABC
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.