11300. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, P
— точка касания этой окружности со стороной BC
, A_{1}
— середина стороны BC
, G
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Докажите, что прямая A_{1}I
делит отрезок GP
в отношении 1:3
, считая от точки G
.
Решение. Пусть вневписанная окружность треугольника ABC
касается стороны BC
в точке N
. Тогда CN=BP
(см. задачу 6411), значит, A_{1}
— середина отрезка NP
. Точка G
делит медиану AM
треугольника NAP
в отношении AG:GM=2:1
, поэтому G
— точка пересечения медиан этого треугольника. Тогда прямая PG
пересекает отрезок AN
в его середине E
, т. е. PE
— медиана треугольника NAP
, и PG=2GE
.
Поскольку A_{1}I\parallel AN
(см. задачу 6729), а A_{1}
— середина NP
, то прямая A_{1}I
проходит через середину L
отрезка PE
. Положим GE=2t
, PG=4t
. Тогда
PL=\frac{1}{2}PE=\frac{1}{2}\cdot6t=3t,~GL=LE-GE=3t-2t=t.
Следовательно,
\frac{GL}{LP}=\frac{t}{3t}=\frac{1}{3}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.