6411. Вписанная окружность треугольника ABC
касается стороны AC
в точке D
, DM
— диаметр окружности. Прямая BM
пересекает сторону AC
в точке K
. Докажите, что AK=DC
.
Указание. Рассмотрите гомотетию с центром B
, переводящую вписанную окружность треугольника ABC
в его вневписанную окружность, касающуюся стороны AC
, и докажите, что K
— точка касания.
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром в точке B
, переводящую вписанную окружность треугольника ABC
в его вневписанную окружность, касающуюся стороны AC
. Диаметр этой окружности, соответствующий диаметру DM
первой окружности, перпендикулярен AC
. Следовательно, вневписанная окружность касается стороны AC
в точке K
.
Если p
— полупериметр треугольника ABC
, а F
— точка касания вневписанной окружности с лучом BA
, то
CD=p-AB,~AK=AF=BF-AB=p-AB
(см. задачи 219 и 4805). Следовательно, AK=DC
.
Примечание. 1. См. также статью Ю.Билецкого и Г.Филипповского «О пользе вневписанных окружностей», Квант, 2001, N2, с.28.
2. См. также статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Вневписанная окружность», Квант, 2009, N2, с.34-37, 45.