6729. Окружность с центром I
, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны BC
в точке M
. Вневписанная окружность с центром J
касается стороны BC
в точке N
. Точка K
— середина стороны BC
. Докажите, что AN\parallel IK
и AM\parallel JK
.
Решение. Рассмотрим гомотетию с центром A
, переводящую вписанную окружность треугольника ABC
во вневписанную, касающуюся стороны BC
. Пусть прямая, параллельная BC
, касается вписанной окружности в точке P
. При рассматриваемой гомотетии эта прямая переходит в прямую BC
, а точка P
— в точку N
. Поскольку CM=BN
(см. задачу 4805), середина K
стороны BC
есть середина отрезка MN
, а так как I
— середина диаметра PM
вписанной окружности, то IK
— средняя линия треугольника PMN
. Следовательно, AN\parallel IK
.
Пусть при рассматриваемой гомотетии точки B
и C
переходят в B_{1}
и C_{1}
соответственно. Тогда точка M
касания вписанной окружности треугольника ABC
и прямой BC
переходит в точку касания M_{1}
вписанной окружности треугольника AB_{1}C_{1}
(т. е. вневписанной окружности треугольника ABC
) и прямой B_{1}C_{1}
. Точка J
— середина диаметра M_{1}N
этой окружности, а K
— середина стороны MN
треугольника MM_{1}N
, значит, JK
— его средняя линия. Следовательно, AM\parallel JK
.
Примечание. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.