11305. Постройте треугольник ABC
по центру I
вписанной окружности, середине A_{1}
стороны BC
и прямой h
, содержащей высоту AH
.
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен. Пусть I
— данный центр вписанной окружности, A_{1}
— данная середина стороны BC
, AH
— высота, лежащая на данной прямой h
.
Пусть прямая A_{1}I
пересекает высоту AH
в точке Q
. Тогда отрезок AQ
равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC
(см. задачу 802), т. е. отрезку IP=r
, где P
— основание перпендикуляра, опущенного из точки I
на сторону BC
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Через данную точку A_{1}
проведём прямую, перпендикулярную данной прямой h
. Пусть H
точка пересечения этих прямых. Опустим перпендикуляр IP
на прямую A_{1}H
из данной точки I
. Затем построим точку Q
пересечения прямой A_{1}I
с данной прямой h
, и на продолжении отрезка HQ
за точку Q
отложим отрезок QA
, равный IP=r
. Тогда A
— вершина искомого треугольника. Построим окружность радиуса r
с центром I
и проведём из A
касательные к этой окружности. Точки их пересечения с прямой A_{1}H
— вершины B
и C
искомого треугольника ABC
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.