802. В треугольнике ABC
через середину M
стороны BC
и центр O
вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая MO
, которая пересекает высоту AH
в точке E
. Докажите, что отрезок AE
равен радиусу вписанной окружности.
Указание. Рассмотрите вневписанную окружность треугольника ABC
.
Решение. Пусть F
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной BC
. Рассмотрим окружность S
, касающуюся стороны BC
треугольника ABC
в точке Q
, а продолжений сторон AB
и AC
— в точках K
и L
соответственно (вневписанная окружность треугольника ABC
). Тогда, если p
— полупериметр треугольника ABC
, то
BQ=BK=AK-AB=p-AB=CF
(см. задачи 4805 и 219). Поскольку M
— середина BC
, то
QM=BM-BQ=CM-CF=MF,
т. е. M
— середина отрезка QF
.
При гомотетии с центром A
, переводящей окружность S
во вписанную окружность треугольника ABC
, прямая BC
переходит в параллельную ей прямую, касающуюся вписанной окружности в некоторой точке P
. Тогда точки A
, P
и Q
лежат на одной прямой, а PF
— диаметр вписанной окружности.
Поскольку MO
— средняя линия треугольника QFP
, то прямая ME
параллельна прямой AP
, а так как прямые PF
и AH
перпендикулярны прямой BC
, то PO\parallel AE
. Поэтому четырёхугольник OPAE
— параллелограмм. Следовательно, AE=OP=OF
.
Примечание. 1. См. также статью Ю.Билецкого и Г.Филипповского «О пользе вневписанных окружностей», Квант, 2001, N2, с.28.
2. См. также статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Вневписанная окружность», Квант, 2009, N2, с.34-37, 45.
3. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.