802. В треугольнике
ABC
через середину
M
стороны
BC
и центр
O
вписанной в этот треугольник окружности проведена прямая
MO
, которая пересекает высоту
AH
в точке
E
. Докажите, что отрезок
AE
равен радиусу вписанной окружности.
Указание. Рассмотрите вневписанную окружность треугольника
ABC
.
Решение. Пусть
F
— точка касания вписанной окружности треугольника
ABC
со стороной
BC
. Рассмотрим окружность
S
, касающуюся стороны
BC
треугольника
ABC
в точке
Q
, а продолжений сторон
AB
и
AC
— в точках
K
и
L
соответственно (вневписанная окружность треугольника
ABC
). Тогда, если
p
— полупериметр треугольника
ABC
, то
BQ=BK=AK-AB=p-AB=CF

(см. задачи 4805 и 219). Поскольку
M
— середина
BC
, то
QM=BM-BQ=CM-CF=MF,

т. е.
M
— середина отрезка
QF
.
При гомотетии с центром
A
, переводящей окружность
S
во вписанную окружность треугольника
ABC
, прямая
BC
переходит в параллельную ей прямую, касающуюся вписанной окружности в некоторой точке
P
. Тогда точки
A
,
P
и
Q
лежат на одной прямой, а
PF
— диаметр вписанной окружности.
Поскольку
MO
— средняя линия треугольника
QFP
, то прямая
ME
параллельна прямой
AP
, а так как прямые
PF
и
AH
перпендикулярны прямой
BC
, то
PO\parallel AE
. Поэтому четырёхугольник
OPAE
— параллелограмм. Следовательно,
AE=OP=OF
.
Примечание. 1. См. также статью Ю.Билецкого и Г.Филипповского «О пользе вневписанных окружностей», Квант, 2001, N2, с.28.
2. См. также статью А.Блинкова и Ю.Блинкова «Вневписанная окружность», Квант, 2009, N2, с.34-37, 45.
3. См. также статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.
Источник: Всесоюзная олимпиада по математике. — 1970, IV, 10 класс
Источник: Журнал «Квант». — 1970, № 11, с. 27, М53; 2007, № 4, с. 31
Источник: Задачник «Кванта». — М53
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.7, с. 105
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.7, с. 102
Источник: Васильев Н. Б., Егоров А. А. Задачи всесоюзных математических олимпиад. — М.: Наука, 1988. — № 138, с. 42
Источник: Кушнир И. А. Геометрия. Поиск и вдохновение. — М.: МЦНМО, 2013. — с. 539