11307. Сторона
BC
треугольника
ABC
равна среднему арифметическому сторон
AB
и
AC
,
A_{1}
— середина стороны
BC
,
I
— центр вписанной окружности,
r
— её радиус,
Q
— точка пересечения прямой
A_{1}I
с высотой
AH
. Докажите, что
QH=2r
.
Решение. Пусть
BC=a
,
AC=b
,
AB=c
,
AH=h_{a}
,
p
— полупериметр треугольника
ABC
,
S
— площадь. Поскольку
AQ=r
(см. задачу 802),
\frac{QH}{AQ}=\frac{QH}{r}=\frac{h_{a}-r}{r}=\frac{h_{a}}{r}-1=\frac{\frac{2S}{a}}{\frac{S}{p}}-1=

=\frac{2p}{a}-1=\frac{2p-a}{a}=\frac{b+c}{a}=\frac{2a}{a}=2.

Следовательно,
QH=2AQ=2r
.
Примечание. 1. Следствия. В таком треугольнике а)
AH=h_{a}=3r
; б) прямые
A_{1}I
и
GI
(где
G
— точка пересечения медиан) делят высоту
AH
на три равные части; в)
GI\parallel BC
.
Доказательство. в) Пусть
K
— проекция точки
G
на
BC
. Из подобия треугольников
A_{1}GK
и
A_{1}AH
получаем, что
GK=\frac{1}{3}AH=\frac{1}{3}\cdot3r=r=IP
. Следовательно,
GI\parallel BC
.
2. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.
Источник: Журнал «Квант». — 2007, № 4, с. 34, задача 9