11312. В прямоугольном треугольнике ABC
через середину гипотенузы BC
и центр вписанной окружности проведена прямая. Она пересекает катет AB
под углом 75^{\circ}
. Найдите острые углы треугольника ABC
.
Решение. 60^{\circ}
, 30^{\circ}
.
Пусть A_{1}
— середина гипотенузы BC
, I
— центр вписанной окружности, Q
и F
— точки пересечения прямой A_{1}I
с высотой AH
и катетом AB
соответственно, r
— радиус вписанной окружности треугольника.
Тогда \angle BFA_{1}=75^{\circ}
, AQ=r
(см. задачу 802), а так как AI
— биссектриса прямого угла, то \angle AIF=45^{\circ}
, а AI=r\sqrt{2}
. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AIF=\angle BFI-\angle IAF=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}.
Применив теорему синусов к треугольнику AIQ
, получим, что
\frac{AI}{\sin\angle AQI}=\frac{AQ}{\sin30^{\circ}},~\mbox{или}~\frac{r\sqrt{2}}{\sin\angle AQI}=2r,
откуда \sin\angle AQI=\frac{\sqrt{2}}{2}
, а так как угол AQI
тупой (он дополняет до 180^{\circ}
острый угол AFQ
), то \angle FQH=\angle AQI=135^{\circ}
.
Сумма углов четырёхугольника BFQH
равна 360^{\circ}
, поэтому
\angle ABC=\angle FBH=360^{\circ}-90^{\circ}-135^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ},
а \angle ACB=30^{\circ}
.
Примечание. См. статью А.Карлюченко и Г.Филипповского «Об одной замечательной прямой в треугольнике», Квант, 2007, N4, с.31, 34-35.