11318. С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если на плоскости отмечены три точки: O
— центр описанной окружности, H
— точка пересечения высот и A_{1}
— середина одной из сторон треугольника.
Указание. Рассмотрите прямую Эйлера искомого треугольника (см. задачу 5044).
Решение. Предположим, что нужный треугольник ABC
построен, M
— точка пересечения его медиан, A_{1}
— середина стороны BC
. Тогда точки O
, M
и H
лежат на одной прямой — прямой Эйлера треугольника ABC
, причём точка M
лежит между O
и H
и OM:MH=1:2
(см. задачу 5044).
Отсюда вытекает следующее построение. На отрезке OH
строим такую точку M
, для которой OM:MH=1:2
. На продолжении отрезка A_{1}M
за точку M
откладываем отрезок MA=2MA_{1}
. С центром в данной точке O
строим окружность радиуса OA
. Точки пересечения этой окружности с прямой, проходящей через точку A_{1}
перпендикулярно прямой AH
, — вершины B
и C
искомого треугольника.