11321. Середины диагоналей AC
, BD
, CE
, DF
, EA
и FB
выпуклого шестиугольника ABCDEF
образуют выпуклый шестиугольник. Докажите, что его площадь в четыре раза меньше площади исходного шестиугольника.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
, D_{1}
, E_{1}
и F_{1}
— середины отрезков CE
, DF
, EA
, FB
, AC
и BD
соответственно. Обозначим через \alpha
угол между диагоналями A_{1}C_{1}
и B_{1}D_{1}
четырёхугольника A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
. Поскольку A_{1}C_{1}
и B_{1}D_{1}
— средние линии треугольников ACE
и BDF
, диагонали AC
и BD
четырёхугольника ABCD
соответственно параллельны отрезкам A_{1}C_{1}
и B_{1}D_{1}
и вдвое больше этих отрезков. Значит, угол между AC
и BD
также равен \alpha
, и (см. задачу 3018)
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}=\frac{1}{2}A_{1}C_{1}\cdot B_{1}D_{1}\sin\alpha=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{1}{2}BD\sin\alpha=
=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot BD\sin\alpha=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
Аналогично, S_{A_{1}D_{1}E_{1}F_{1}}=\frac{1}{4}S_{ADEF}
. Следовательно,
S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}E_{1}F_{1}}=S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}}+S_{A_{1}D_{1}E_{1}F_{1}}=
=\frac{1}{4}S_{ABCD}+\frac{1}{4}S_{ADEF}=\frac{1}{4}(S_{ABCD}+S_{ADEF})=S_{ABCDEF}.