11325. Угол A
четырёхугольника ABCD
тупой; F
— середина стороны BC
. Докажите, что 2FA\lt BD+CD
.
Решение. Пусть O
центр окружности с диаметром BD
. Поскольку из вершины A
отрезок BD
виден под тупым углом, вершина A
лежит внутри этой окружности (см. задачу 1772), поэтому OA\lt\frac{1}{2}BD
. Отрезок OF
— средняя линия треугольника CBD
, поэтому OF=\frac{1}{2}CD
. Значит,
FA\leqslant OA+OF\lt\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}CD,
следовательно,
2FA\lt BD+CD.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 9.66, с. 233
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.69, с. 227