11332. Четырёхугольник ABCD
описан около окружности с центром O
. В треугольнике AOB
проведены высоты AA_{1}
и BB_{1}
, а в треугольнике COD
— высоты CC_{1}
и DD_{1}
. Докажите, что точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть вписанная окружность четырёхугольника ABCD
касается сторон AD
, AB
и BC
в точках M
, H
и N
соответственно. Тогда OH
— третья высота треугольника AOB
, а прямые OA
и OB
— серединные перпендикуляры к отрезкам MH
и NH
(см. задачу 1180). При симметрии относительно этих прямых точка H
перейдёт в точки M
и N
соответственно. Значит, точки A_{1}
и B_{1}
лежат на прямой MN
(см. задачу 11140). Аналогично, точки C_{1}
и D_{1}
также лежат на прямой MN
. Следовательно, все четыре точки A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
и D_{1}
лежат на одной прямой — прямой MN
.