11335. Дан прямоугольник ABCD
. Найдите геометрическое место точек X
, для которых AX+BX=CX+DX
.
Ответ. Прямая, проходящая через середины сторон AD
и BC
.
Решение. Пусть l
— прямая, проходящая через середины сторон AD
и BC
. Поскольку l
— общий серединный перпендикуляр к отрезкам AD
и BC
, для любой точки X
прямой верны равенства AX=DX
и BX=CX
. Следовательно, AX+BX=CX+DX
.
Пусть точка X
не лежит на прямой l
, и при этом точки A
и X
лежат по одну сторону от l
. Тогда AX\lt DX
и BX\lt CX
(см. задачу 1798). Следовательно, AX+BX\lt CX+DX
.
Таким образом, искомое ГМТ — прямая l
.