11336. Правильный многоугольник A_{1}A_{2}\dots A_{n}
вписан в окружность радиуса R
с центром O
, X
— произвольная точка, удалённая от центра окружности на расстояние d
. Докажите, что
A_{1}X^{2}+A_{2}X^{2}+\dots+A_{n}X^{2}=n(R^{2}+d^{2}).
Решение. Поскольку \overrightarrow{A_{i}X}=\overrightarrow{A_{i}O}+\overrightarrow{OX}
, то
A_{i}X^{2}=|\overrightarrow{A_{i}O}+\overrightarrow{OX}|^{2}=\overrightarrow{A_{i}O}^{2}+\overrightarrow{OX}^{2}+2\overrightarrow{A_{i}O}\cdot\overrightarrow{OX}=R^{2}+d^{2}+2\overrightarrow{A_{i}O}\cdot\overrightarrow{OX},
а так как
\overrightarrow{A_{1}O}+\overrightarrow{A_{2}O}+\dots~\overrightarrow{A_{n}O}=\overrightarrow{0}
(см. задачу 4522), то
A_{1}X^{2}+A_{2}X^{2}+\dots+A_{n}X^{2}=(A_{1}X^{2}+A_{2}X^{2}+\dots+A_{n}X^{2})+n\overrightarrow{OX}+
+(2\overrightarrow{A_{1}O}\cdot\overrightarrow{OX}+2\overrightarrow{A_{2}O}\cdot\overrightarrow{OX}+\dots+2\overrightarrow{A_{n}O}\cdot\overrightarrow{OX})=
=nR^{2}+nd^{2}+2\overrightarrow{OX}\cdot(\overrightarrow{A_{1}O}+\overrightarrow{A_{2}O}+\dots+\overrightarrow{A_{n}O})=
=n(R^{2}+d^{2})+2\overrightarrow{OX}\cdot\overrightarrow{0}=n(R^{2}+d^{2}).