11337. На сторонах BC
и AD
четырёхугольника ABCD
взяты точки M
и N
так, что BM:MC=AN:ND=AB:CD
. Лучи AB
и DC
пересекаются в точке O
. Докажите, что прямая MN
параллельна биссектрисе угла AOD
.
Решение. Достроим треугольники ABM
и DCM
до параллелограммов ABMM_{1}
и DCMM_{2}
. Треугольники ANM_{1}
и DNM_{2}
подобны, так как
\frac{AM_{1}}{DM_{2}}=\frac{BM}{MC}=\frac{AN}{ND}
и \angle NAM_{1}=\angle NDM_{2}
. Значит, \angle ANM_{1}=\angle DNM_{2}
, поэтому точка N
лежит на отрезке M_{1}M_{2}
. Кроме того,
\frac{M_{1}N}{NM_{2}}=\frac{AN}{ND}=\frac{AB}{BC}=\frac{MM_{1}}{MM_{2}},
значит, MN
— биссектриса угла M_{1}MM_{2}
(см. задачу 1510), а так как стороны этого угла соответственно параллельны сторонам угла AOD
, то прямая MN
параллельна биссектрисе угла AOD
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 6.23, с. 154
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 6.20, с. 152
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 519, с. 63