11340. Постройте прямоугольник с заданным отношением сторон, зная по одной точке на каждой из его сторон.
Решение. Через точку K
, расположенную внутри прямоугольника PQRS
, проведём две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает противоположные стороны прямоугольника. Пусть первая прямая пересекает стороны PQ
и RS
в точках A
и C
, а вторая — стороны QR
и PS
в точках M
и D
. Докажем, что AC:DM=PS:PQ
.
Пусть N
— проекция точки C
на PQ
, а L
— проекция точки M
на PS
. Прямоугольные треугольники ANC
и DLM
подобны, поэтому AC:DM=PS:PQ
.
Предположим, что данные точки A
, B
, C
и D
расположены на сторонах соответственно PQ
, QR
, RS
и SP
искомого прямоугольника PQRS
. Из точки D
опустим перпендикуляр на прямую AC
и отложим на нём такой отрезок DM
, для которого AC:DM=PS:PQ
. Тогда по ранее доказанному точка M
принадлежит стороне QR
искомого прямоугольника PQRS
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Из точки D
опустим перпендикуляр на AC
. Отложим на этом перпендикуляре отрезок DM=\frac{AC\cdot PQ}{PS}
(см. задачу 2608). Если точка M
не совпадает с точкой B
, проведём прямую MB
. На этой прямой лежит сторона искомого прямоугольника. Дальнейшее построение очевидно. В этом случае задача имеет единственное решение.
Если же точка M
совпадает с B
, то задача имеет бесконечно много решений.