11342. Точки B
, C
и D
делят (меньшую) дугу AE
окружности на четыре равные части. Докажите, что S_{\triangle ACE}\lt8S_{\triangle BCD}
.
Решение. Хорды, стягивающие равные дуги, равны, поэтому треугольники ABC
и AEC
равнобедренные. Применив к ним неравенство треугольника, получим, что
AC\lt AB+BC=2BC,~AE\lt AC+CE=2AC.
Значит,
\frac{AC}{BC}\lt2,~\frac{AE}{AC}\lt2.
Пусть диаметр CM
пересекает хорды AE
и BD
в точках K
и L
соответственно. Точки A
и B
лежат на окружности с диаметром CM
, поэтому ACM
и BCM
— прямоугольные треугольники. Поскольку точки C
и M
равноудалены от концов отрезка AE
, прямая CM
— серединный перпендикуляр к хорде AE
. Аналогично, CM
— серединный перпендикуляр к хорде BD
. Значит, AK
и BL
— высоты прямоугольных треугольников ACM
и BCM
, проведённые из вершин прямых углов. Тогда
AC^{2}=CK\cdot CM,~BC^{2}=CL\cdot CM
(см. задачу 2728), поэтому
\frac{CK}{CL}=\frac{AC^{2}}{BC^{2}}\lt4.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ACE}}{S_{\triangle BCD}}=\frac{\frac{1}{2}AE\cdot CK}{\frac{1}{2}BD\cdot CL}=\frac{AE\cdot CK}{BD\cdot CL}=\frac{AE}{AC}\cdot\frac{CK}{CL}\lt2\cdot4=8,
т. е. S_{\triangle ACE}\lt8S_{\triangle BCD}
.