11345. Две окружности с центрами O_{1}
и O_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Через точку A
проведена прямая, пересекающая первую окружность в точке M_{1}
, а вторую в точке M_{2}
. Докажите, что \angle BO_{1}M_{1}=\angle BO_{2}M_{2}
.
Решение. Обозначим \angle BO_{1}M_{1}=\alpha
.
Рассмотрим случай, когда точка A
лежит между M_{1}
и M_{2}
(рис. 1). Тогда Тогда вписанный угол BAM_{1}
вдвое меньше центрального угла BO_{1}M_{1}
, поэтому
\angle BAM_{1}=180^{\circ}-\angle BAM_{1}=180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}.
Значит,
\angle BO_{2}M_{2}=360^{\circ}-2\left(180^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)=\alpha.
Следовательно, \angle BO_{1}M_{1}=\angle BO_{2}M_{2}
.
Пусть точка M_{1}
лежит между A
и M_{2}
(рис. 2). Тогда
\angle BAM_{2}=\angle BAM_{1}=\frac{\alpha}{2},
значит,
\angle BO_{2}M_{2}=2\angle BAM_{2}=\alpha=\angle BO_{1}M_{1}.
Аналогично для любого другого случая.
Примечание. Рассмотрения случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы (см. задачу 873).