11354. Радиус вписанной окружности треугольника равен 1, длины высот — целые числа. Докажите, что треугольник правильный.
Решение. Пусть a
— наибольшая сторона треугольника, h
— опущенная на неё высота, S
— площадь треугольника, 2p
— полупериметр.
Высота треугольника больше диаметра его вписанной окружности, поэтому h\gt2
. Кроме того, если треугольник неправильный, то 2p\lt3a
, поэтому
3a\gt2p=2p\cdot r=2S=ah
(см. задачу 452), откуда h\lt3
, а так как между 2 и 3 нет целых чисел, то получаем противоречие. Следовательно, данный треугольник правильный.