11356. Угол BAC
треугольника ABC
равен \alpha
. Сторона BC
является хордой окружности с центром O
и радиусом R
, проходящей через центр окружности, вписанной в треугольник ABC
.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABOC
можно описать окружность.
б) Известно, что в четырёхугольник ABOC
можно вписать окружность. Найдите радиус r
этой окружности, если R=6
, \alpha=60^{\circ}
.
Ответ. 9-3\sqrt{3}
.
Решение. а) Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Тогда BI
и CI
— биссектрисы углов ABC
и ACB
, поэтому
\angle BIC=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770).
Пусть \omega
— окружность, проходящая через точки B
, I
и C
. Поскольку BIC
— угол, вписанный в окружность \omega
, он опирается на дугу этой окружности, равную
2\cdot\angle BIC=2\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}+\alpha.
Тогда градусная мера центрального угла BOC
окружности \omega
равна градусной мере дуги BIC
, т. е.
\angle BOC=360^{\circ}-(180^{\circ}+\alpha)=180^{\circ}-\alpha,
а так как
\angle BOC+\angle BAC=(180^{\circ}-\alpha)+\alpha=180^{\circ},
то ABOC
— вписанный четырёхугольник. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку в четырёхугольник ABOC
можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны, т. е. AB+OC=AC+OB
, а так как OB=OC
, то AC=AB
. Угол при вершине A
равнобедренного треугольника ABC
равен 60^{\circ}
, поэтому треугольник ABC
равносторонний. Сторона BC
этого треугольника — основание равнобедренного треугольника BOC
с углом 120^{\circ}
при вершине O
и боковыми сторонами, равными 6. Значит, AB=AC=BC=6\sqrt{3}
. Площадь S
четырёхугольника ABOC
равна его полупериметру p
, умноженному на радиус r
вписанной в него окружности (см. задачу 523), т. е. S=pr=(6+6\sqrt{3})r
. С другой стороны
S=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin60^{\circ}+\frac{1}{2}OB\cdot OC\sin120^{\circ}=
=\frac{1}{2}(6\sqrt{3})^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot6^{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=27\sqrt{3}+9\sqrt{3}=36\sqrt{3}.
Следовательно,
r=\frac{S}{p}=\frac{36\sqrt{3}}{6+6\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}{3-1}=3\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)=9-3\sqrt{3}.