11358. Внутри данного треугольника
ABC
найдите такую точку
O
, что площади треугольников
BOL
,
COM
и
AON
равны (точки
L
,
M
и
N
лежат на сторонах
AB
,
BC
и
AC
соответственно, причём
OL\parallel BC
,
OM\parallel AC
и
ON\parallel AB
).
Ответ.
O
— точка пересечения медиан треугольника
ABC
.
Решение. Пусть прямые
MO
,
NO
и
LO
пересекают стороны
AB
,
BC
и
AC
в точках
P
,
Q
и
R
соответственно. Четырёхугольник
ANOP
параллелограмм, поэтому
S_{\triangle AOP}=S_{\triangle AON}=S_{\triangle BOL},

а так как высоты равновеликих треугольников
AOP
и
BOL
, проведённые из общей вершины
O
, равны, то равны и основания
AP
и
BL
. Аналогично,
BQ=CM
и
CR=AN
.
Обозначим
AP=BL=a
. Тогда
OQ=BL=a,~ON=AP=a,

так как
BLOQ
и
ANOP
— параллелограммы. Поскольку
OQ=ON
, точка
O
— середина основания
NQ
трапеции
ABQN
, а так как
C
— точка пересечения продолжений боковых сторон
AN
и
BQ
этой трапеции, то прямая
CO
пересекает основание
AB
в его середине (см. задачу 1513). Значит, точка
O
лежит на медиане треугольника
ABC
, проведённой из вершины
C
. Аналогично, точка
O
лежит на двух других медианах этого треугольника, т. е.
O
— точка пересечения медиан треугольника
ABC
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.3, с. 82
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.3, с. 83