11360. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
лежат на сторонах соответственно BC
, AC
и AB
треугольника ABC
. Отрезки AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке O
. На лучах AO
, BO
и CO
отложены отрезки AA_{2}=OA_{1}
, BB_{2}=OB_{1}
и CC_{2}=OC_{1}
. Через точки A_{2}
, B_{2}
и C_{2}
проведены OC
параллельно сторонам треугольника. Эти прямые отсекают от треугольника ABC
три треугольника, подобных данному. Докажите, что сумма трёх соответствующих линейных элементов этих трёх треугольников равна соответствующему линейному элементу данного треугольника ABC
.
Указание. Примените теорему Жергона (см. задачу 1664).
Решение. Пусть прямая, проходящая через точку A_{2}
параллельно BC
, пересекает стороны AB
и AC
в точках L
и K
. Пусть треугольник ALK
подобен треугольнику ABC
с коэффициентом k_{a}
. Аналогично определим коэффициенты k_{b}
и k_{c}
подобия двух других отсечённых треугольников и треугольника ABC
. Тогда
k_{a}=\frac{AA_{2}}{AA_{1}}=\frac{OA_{1}}{AA_{1}},~k_{b}=\frac{OB_{1}}{BB_{1}},~k_{c}=\frac{OC_{1}}{CC_{1}}.
Применяя теорему Жергона (см. задачу 1664), получим, что
k_{a}+k_{b}+k_{c}=\frac{OA_{1}}{AA_{1}}+\frac{OB_{1}}{BB_{1}}+\frac{OC_{1}}{CC_{1}}=1.
Пусть l
произвольный линейный элемент треугольника ABC
, а l_{a}
, l_{b}
и l_{c}
— соответствующие линейные элементы отсечённых треугольников с вершинами A
, B
и C
соответственно. Тогда
k_{a}+k_{b}+k_{c}=1~\Rightarrow~k_{a}l+k_{b}l+k_{c}l=l~\Rightarrow~l_{a}+l_{b}+l_{c}=l.
Что и требовалось доказать.
Источник: Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1962. — с. 31