11365. Прямые, пересекающие стороны AB
и CD
параллелограмма ABCD
, делят его на трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Докажите, что произведение длин оснований этих трапеций, расположенных на AB
, равно произведению длин оснований, расположенных на CD
.
Решение. Пусть a_{i}
, b_{i}
, \alpha_{i}
, \beta_{i}
(i=1{,}2,\dots,n
)— соответственно основания i
-й трапеции и её углы, прилежащие к стороне a_{i}
(нумерация ведётся от A
к B
и от D
к C
, a_{i}
— на стороне AB
, \alpha_{i}
— угол этой трапеции, ближний к вершине A
). Тогда \frac{b_{i}}{a_{i}}=\tg\frac{\alpha_{i}}{2}\tg\frac{\beta_{i}}{2}
(см. задачу 4774). Перемножая эти равенства и учитывая, что
\tg\frac{\beta_{i}}{2}=\tg\left(90^{\circ}-\frac{\alpha_{i}}{2}\right)=\ctg\frac{\alpha_{i}}{2},
получим
\frac{b_{1}b_{2}\dots b_{n}}{a_{1}a_{2}\dots a_{n}}=1~\Rightarrow~b_{1}b_{2}\dots b_{n}=a_{1}a_{2}\dots a_{n}.